Κεφ. 1 Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες

1.1 Αναλογικά και ψηφιακά ηλεκτρονικά

Αναλογικό μέγεθος ονομάζεται ένα μέγεθος που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε μία περιοχή τιμών. Αναλογικά μεγέθη είναι:

η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου,
η θερμοκρασία ενός δωματίου,
το βάρος ενός ανθρώπου,
το ύψος ενός δένδρου κτλ.

Παράδειγμα: κατά την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου από 0 έως 100 χλμ/ώρα, η ταχύτητά του λαμβάνει όλες τις δυνατές τιμές στο διάστημα από 0 χλμ/ώρα έως 100 χλμ/ώρα (άπειρο πλήθος τιμών), όπως φαίνεται στο σχήμα.

**Αναλογικό μέγεθος – Επιτάχυνση αυτοκινήτου από 0 – 100 χλμ/ώρα**

Ψηφιακό μέγεθος ονομάζεται το μέγεθος που μπορεί να πάρει συγκεκριμένες (διακριτές) τιμές σε μία περιοχή τιμών. Ψηφιακά μεγέθη είναι:

το πλήθος των «φάουλ» ενός παίκτη μπάσκετ κατά τη διάρκεια ενός αγώνα,
οι βαθμοί μίας ομάδας ποδοσφαίρου κατά τη διάρκεια του πρωταθλήματος κτλ.

Παράδειγμα: Κατά τη διάρκεια ενός αγώνα μπάσκετ, ένας παίκτης μπορεί να κάνει 1 , 2, 3, 4 ή 5 «φάουλ» (καθορισμένο πλήθος διακριτών τιμών), όπως φαίνεται στο σχήμα.

**Ψηφιακό μέγεθος – Πλήθος φάουλ ενός παίκτη μπάσκετ**

Δυαδικό μέγεθος είναι ένα ψηφιακό μέγεθος που μπορεί να πάρει μόνο δύο (2) διακριτές τιμές.

Δυαδικά μεγέθη είναι:

η λογική πρόταση «σήμερα βρέχει» (η λογική πρόταση μπορεί να είναι αληθής (TRUE) αν πράγματι βρέχει ή ψευδής (FALSE) αν δεν βρέχει),
η κατάσταση ενός λαμπτήρα (ο λαμπτήρας μπορεί να είναι αναμμένος (ΟΝ) ή σβηστός (OFF)),
η κατάσταση ενός διακόπτη (o διακόπτης μπορεί να είναι ανοικτός ή κλειστός όπως φαίνεται στο σχήμα.

**Δυαδικό μέγεθος – καταστάσεις διακόπτη**

Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα κατατάσσονται σε δύο βασικές κατηγορίες, ανάλογα με τα σήματα που επεξεργάζονται:

αναλογικά κυκλώματα (analog circuits)
ψηφιακά κυκλώματα (digital circuits)

1.2 Η Δίτιμη άλγεβρα Boole

Η Άλγεβρα Boole (Boolean algebra) πήρε το όνομά της από τον G. Boole (1854). Τα αξιώματα της Άλγεβρας Boole διατυπώθηκαν από τον Ε. V. Huntington (1904).

Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στην Άλγεβρα Boole ονομάζονται λογικές μεταβλητές γιατί μπορούν να πάρουν δύο (2) μόνο τιμές: 0 και 1

Αυτός είναι o λόγος που η Αλγεβρα Boole αποτελεί τη βάση για τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυκλώματα.

Στην Αλγεβρα Boole οριζονται τρεις βασικές πράξεις:

η πράξη ΝΟΤ (ΟΧΙ) με σύμβολο ‾
η πράξη AND (ΚΑΙ) με σύμβολο ∙
η πράξη OR (Ή) με σύμβολο +

Η πράξη ΝΟΤ

Στην πράξη NOT συμμετέχει μία μόνο λογική μεταβλητή και το αποτέλεσμα της πράξης είναι το συμπλήρωμα της μεταβλητής αυτής, δηλαδή αν η μεταβλητή έχει την τιμή “0” τότε το αποτέλεσμα είναι “1” και αντίστροφα αν η μεταβλητή έχει την τιμή “1” τότε το αποτέλεσμα είναι “0”. Αν Α είναι μία λογική μεταβλητή, Τότε η πράξη ΝΟΤ εκφράζεται με τη σχέση:

Ο πίνακας αληθείας της πράξης ΝΟΤ είναι:

Η πράξη AND

Στην πράξη AND συμμετέχουν δύο λογικές μεταβλητές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι “1 αν και οι δύο μεταβλητές είναι “1 “. Αν Α και Β είναι δύο λογικές μεταβλητές, Τότε η πράξη AND εκφράζεται με τη σχέση:

Σημείωση: το σύμβολο της πράξης AND μπορεί να παραλείπεται στις εκφράσεις της Άλγεβρας Boole

(Α • B = AB).

O πίνακας αληθείας της πράξης AND είναι:

Η πράξη OR

Στην πράξη OR συμμετέχουν δύο λογικές μεταβλητές και το αποτέλεσμα της πράξης είναι “1” αν τουλάχιστον μία από τις δύο μεταβλητές είναι “1”. Αν Α και Β είναι δύο λογικές μεταβλητές, τότε η πράξη OR εκφράζεται με τη σχέση:

Ο πίνακας αληθείας της πράξης OR είναι:

Αξιώματα Huntington

1 . Ουδέτερα στοιχεία των πράξεων AND και OR. Το ουδέτερο στοιχείο της πράξης AND είναι το 1 και το ουδέτερο στοιχείο της πράξης OR είναι το 0.

α. x ∙ 1 = 1 ∙ x = x (για χ=0: 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 = 0 και για χ=1: 1 ∙ 1 = 1)

β.x + 0 = 0 + x = x (για χ=0: 0 + 0 = 0 και για χ=1: 1 + 0 = 0 + 1 = 1)

2. Αντιμεταθετική ιδιότητα των πράξεων AND και OR. Οι πράξεις AND και OR έχουν την αντιμεταθετική ιδιότητα.

α. x ∙ y = y ∙ x

β. x + y = y + x

3. Επιμεριστική ιδιότητα των πράξεων AND και OR. Η πράξη AND έχει την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πράξη OR και η πράξη OR έχει την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πράξη AND.

α. x ∙ (y + z) = (x∙y) + (x∙z)

β. x + (y ∙ z) = (x+y) ∙ (x+z)

4. Συμπλήρωμα (ΝΟΤ)

Κάθε λογική μεταβλητή x έχει ένα συμπλήρωμα με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το αξίωμα αυτό μπορεί να επαληθευτεί από τον πίνακα αληθείας της πράξης NOT(0 ∙ 1 = 0 και 1 + 0 = 1).

Αρχή Δυϊσμού

Η ισχύς των εκφράσεων της Άλγεβρας Boole εξακολουθεί να υφίσταται, αν γίνει αλλαγή των πράξεων AND και OR και των ουδέτερων στοιχείων μεταξύ τους ( ∙ → + και 0 → 1 ).

Για παράδειγμα, αν ισχύει η έκφραση x + 1 = 1, τότε ισχύει και η έκφραση x ∙ 0 = 0 και η μία έκφραση ονομάζεται δυϊκή της άλλης.

Θεωρήματα Άλγεβρας Boole

**Το Θεώρημα De Morgan ισχύει και για περισσότερες από δύο μεταβλητές, για παράδειγμα:

Για την εκτέλεση των πράξεων στις εκφράσεις της Άλγεβρας Boole καθορίζεται η προτεραιότητα της εκτέλεσής τους, όπως φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Εκτελούνται πρώτα οι πράξεις μέσα σε παρενθέσεις, μετά υπολογίζονται τα συμπληρώματα, στην συνέχεια εκτελούνται οι πράξεις AND και τέλος εκτελούνται οι πράξεις OR.

1.3 Λογικές πύλες

Λογικά διαγράμματα των λογικών πυλών

Οι λογικές πύλες είναι τα βασικά δομικά στοιχεία στα ψηφιακά κυκλώματα. Χρησιμοποιούνται για να κατασκευάσουμε σύνθετα ψηφιακά κυκλώματα. Στους παρακάτω πίνακες παρουσιάζονται οι λογικές πύλες μίας και δύο εισόδων όπου η έξοδος εκφράζεται ως συνάρτηση των εισόδων και τα λογικά τους διαγράμματα.

**Συναρτήσεις εξόδου των λογικών πυλών**

**Λογικά διαγράμματα των λογικών πυλών**

Πίνακες αληθείας των λογικών πυλών

Ο απομονωτής (buffer)

Ο απομονωτής (buffer) είναι μία πύλη με μία είσοδο και μία έξοδο που είναι ίση με την είσοδο. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας του απομονωτή είναι:

Η πύλη NOT

Η πύλη ΝΟΤ έχει μία είσοδο και μία έξοδο που είναι ίση με το συμπλήρωμα της εισόδου. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης NOT είναι:

Η πύλη AND

Η πύλη AND έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” αν και οι δύο είσοδοι είναι “1”. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης AND είναι:

Η πύλη OR

Η πύλη OR έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” , αν τουλάχιστον μία από τις δύο εισόδους είναι “1”. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης OR είναι:

Η πύλη NAND

Η πύλη NAND προκύπτει από μία πύλη AND ακολουθούμενη από μία πύλη ΝΟΤ. Η πύλη NAND έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” αν τουλάχιστον μία από τις δύο εισόδους είναι “0”. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης NAND είναι:

Η πύλη NOR

Η πύλη NOR προκύπτει από μία πύλη OR ακολουθούμενη από μία πύλη ΝΟΤ. Η πύλη NOR έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” αν και οι δύο είσοδοι είναι “0”. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης NOR είναι:

Η πύλη XOR

Η πύλη XOR (exclusive OR) έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” αν οι δύο είσοδοι είναι διαφορετικές μεταξύ τους (για αυτό ονομάζεται και πύλη διαφωνίας ή σύγκρισης). Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης XOR είναι:

Η πύλη XNOR

Η πύλη XNOR (exclusive NOR) έχει δύο εισόδους και μία έξοδο που είναι “1” αν οι δύο είσοδοι είναι ίσες. Η συνάρτηση και ο πίνακας αληθείας της πύλης NOR είναι:

Λογικές πύλες πολλαπλών εισόδων

Οι πύλες δύο εισόδων μπορούν να επεκταθούν ώστε να έχουν περισσότερες από δύο εισόδους, εάν οι πράξεις τους έχουν την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα. Η υλοποίηση μίας τέτοιας πύλης τριών (3) εισόδων με χρήση όμοιων πυλών δύο (2) εισόδων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Για παράδειγμα, μία πύλη AND τριών εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες AND δύο εισόδων, γιατί ισχύει:

η αντιμεταθετική ιδιότητα

η προσεταιριστική ιδιότητα

Με την ίδια λογική, μία πύλη OR τριών εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες OR δύο εισόδων όπως φαίνεται στο σχήμα.

Η πύλη NAND τριών εισόδων ορίζεται ως το συμπλήρωμα της πύλης AND τριών εισόδων. Επομένως, η έξοδος της πύλης NAND τριών εισόδων είναι “1” αν τουλάχιστον μία από τις τρεις εισόδους είναι “0”.

Μία πύλη NAND τριών εισόδων δεν μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες ΝΑΝD δύο εισόδων, γιατί ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, αλλά δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα αφού:

**Πύλη NAND: δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα**

Με την ίδια λογική, μία πύλη NOR τριών εισόδων δεν μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο πύλες NOR δύο εισόδων.

Η λογική της επέκτασης του πλήθους των εισόδων των πυλών, μπορεί να εφαρμοστεί και για πύλες τεσσάρων εισόδων. Για παράδειγμα, μία πύλη AND τεσσάρων εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τρεις πύλες AND δύο εισόδων και μία πύλη OR τεσσάρων εισόδων μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τρεις πύλες OR δύο εισόδων.

1.4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (Ο.Κ.)

Τεχνολογίες κατασκευής ολοκληρωμένων κυκλωμάτων

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα (integrated circuits) είναι συστατικά στοιχεία των ψηφιακών κυκλωμάτων. Ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα είναι ένας ημιαγωγός κρύσταλλος από πυρίτιο (Chip) που περιέχει ηλεκτρονικά στοιχεία με τα οποία κατασκευάζονται οι πύλες. Το Chip τοποθετείται σε ένα πλαστικό περίβλημα και συγκολλούνται οι επαφές σε εξωτερικούς ακροδέκτες (pins) για να σχηματιστεί το ολοκληρωμένο κύκλωμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η εσωτερική όψη ενός ολοκληρωμένου κυκλώματος σε συσκευασία ακροδεκτών διπλής σειράς (Dual ln-line Package – DIP).

**Εσωτερική όψη ολοκληρωμένου κυκλώματος**

Οι λογικές πύλες κατασκευάζονται με μία από τις παρακάτω τεχνολογίες ολοκληρωμένων κυκλωμάτων:

BILPOLAR
CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
BICMOS (Bipolar CMOS)
ECL (Emitter Coupled Logic)

Τα χαρακτηριστικά των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων λογικών πυλών είναι τα ακόλουθα:

Ικανότητα οδήγησης εξόδου (Fun Out) είναι το πλήθος των εισόδων του
ολοκληρωμένου κυκλώματος που μπορούν να οδηγηθούν από μία έξοδό του χωρίς να κινδυνεύσει η ομαλή λειτουργία.
Απώλεια ισχύος (Power Dissipation) είναι η ισχύς η οποία καταναλώνεται από τις πύλες κατά τη λειτουργία τους με αποτέλεσμα την παραγωγή θερμότητας που διαχέεται στο περιβάλλον.
Καθυστέρηση διάδοσης (Propagation Delay) είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διαδοθεί η αλλαγή ενός σήματος από την είσοδο στην έξοδο.
Περιθώριο θορύβου (Noise Margin) είναι η ελάχιστη τάση εξωτερικού θορύβου που προκαλεί ανεπιθύμητη αλλαγή στην έξοδο.

Η σειρά ολοκληρωμένων κυκλωμάτων 74

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα της σειράς 74 είναι ευρέως χρησιμοποιούμενα. Η ονομασία τους αρχίζει με γράμματα που αφορούν στην κατασκευάστρια εταιρεία, ακολουθεί o αριθμός 74, στη συνέχεια ακολουθούν γράμματα που προσδιορίζουν την οικογένεια και τελειώνει με αριθμούς που προσδιορίζουν τη λειτουργία τους.

Για παράδειγμα, το ολοκληρωμένο κύκλωμα DM74LS00 είναι της εταιρείας National Semiconductors (DM) της σειράς 74, τεχνολογίας Low Power Schottky (LS) και περιέχει τέσσερις πύλες NAND δύο εισόδων (00).

Το ολοκληρωμένο έχει 14 pins: 12 pins για τις εισόδους και τις εξόδους των τεσσάρων πυλών NAND που περιέχει το ολοκληρωμένο κύκλωμα και 2 pins για την τροφοδοσία του.

Λογικές τιμές και περιοχές τάσης

Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα αναγνωρίζουν στις εισόδους τους ηλεκτρικές τάσεις, στις οποίες αντιστοιχούν οι λογικές τιμές 0 ή 1. Επίσης, στις εξόδους τους δίνουν ηλεκτρικές τάσεις που αντιστοιχούν στις λογικές τιμές 0 ή 1.

Στην πράξη όμως δεν είναι δυνατόν να έχουμε απόλυτα ακριβείς τιμές τάσεων. Ορίζονται

δύο περιοχές τάσης, η μία που αντιστοιχεί στο λογικό 1 και η άλλη που αντιστοιχεί στο λογικό 0. Ανάμεσα τους υπάρχει μία περιοχή που τις ξεχωρίζει και δεν μπορεί να θεωρηθεί από το κύκλωμα ούτε ως λογικό “0” ούτε ως λογικό “1”.